| 地图投影 |
地图投影就是研究解决把地球椭球体面上的经纬网按照一定的数学法则转绘到平面上的方法及其变形的科学问题。
几何透视法：以平面、圆柱面、圆锥面为承影面，将曲面（地球椭球体面）转绘到平面（地图）上的一种古老方法，如图 4‑1所示：
|
|
|
图 4‑1 透视投影示意（引自网络） |
数学解析法：是建立地球椭球体面上的经纬网与平面上相应经纬网之间对应关系的方法。实质就是直接确定球面上某点的地理坐标与平面上对应点的直角坐标之间的函数关系。当前绝大多数地图投影都采用这种方法。
地球椭球体是一个不可展曲面，而地图是一个平面，因为把这样的一个球面展开为平面，势必会造成某些部分的破裂或重叠，从而使位于地表这部分的地物和地貌变得不连续和不完整，从实际应用的角度出发，必须将裂开或重叠的部分予以均匀的拉伸或压缩，以消除裂缝和褶皱，在拉伸和压缩的时候，地图上这些部分就与地球体的相应部分失去了相似性，这种变化就是因为投影而产生的变形。这种由球面向屏幕投影时引起的经纬网几何特征的变化，称为地图投影变形。
地图投影的变形有：长度变形，面积变形，角度变形。
1. 长度变形
长度变形是指长度比与1之差，而长度比是投影面上一微小线段和椭球体面上相应微小线段长度之比。长度变形用来反映线段投影后变化的程度，它是所有投影上都存在的最基本的变形，正是由它而引起了面积和角度变形。
2. 角度变形
角度变形是指投影面上任意两方向线所夹之角与椭球面上相应的两方向线夹角之差。角度变形是形状变形的具体标志。
3. 面积变形
面积变形是指面积比与1之差，而面积比是投影面上一微小面积与椭球面上相应的微小面积之比。面积变形是衡量地图投影变形大小的一种数量指标。
按照投影的变形性质可以分为以下几类：等角投影、等积投影、任意投影（等距是其一特例）。
等角或正形投影：能保持无限小图形的相似，同一点上长度比处处相同-变形圆，不同点变形圆的半径不同，大范围看，投影图形与地面实际形状并不完全相似。由于这种投影无角度变形，便于图上量测方向/角度，所以常用于对真实角度和方向要求高的地图，比如航海、洋流和风向图等。由于此类投影面积变形很大，故不能量算面积。
等积投影：无面积变形，便于面积的比较和量算，常用于对面积精度要求较高的自然和经济地图，如地质、土壤、土地利用、行政区划等地图。
任意投影：各方面变形都存在，但都适中，常用于教学地图、科学参考地图和通用世界地图等。
根据投影构成方式可以分为两类：几何投影和解析投影。
几何投影是把椭球体面上的经纬线网直接或附加某种条件投影到几何承影面上，然后将几何面展为平面而得到的一类投影，包括：方位投影，圆锥投影，圆柱投影。根据投影面与球面位置关系的不同又可将其划分为：正轴投影、横轴投影、斜轴投影。如图 4‑2所示：
|
|
|
图 4‑2 几何投影 |
方位投影：以平面作为几何承影面，使平面与椭球体面相切或相割，将球面经纬线网投影到平面上而成的投影。在切点或割线上无任何变形，离切点或割线越远，变形越大。
|
|
|
图 4‑3 正轴、横轴、斜轴方位投影（引自National Atlas） |
|
|
|
图 4‑4 平面与椭球体相切或相割（引自National Atlas） |
圆锥投影：以圆锥作为几何承影面，使圆锥与椭球体面相切或相割，将球面经纬线网投影到圆锥面上而成的投影。 该投影适用于中纬度地带沿维线方向伸展地区的地图，我国的地图多用此投影。
|
|
|
图 4‑5 正轴切圆锥投影/割圆锥投影（引自National Atlas） |
圆柱投影：以圆柱作为几何承影面，使圆柱与椭球体面相切或相割，将球面经纬线网投影到圆柱上而成的投影。该投影方式一般适用于赤道附近地区的地图和世界地图。
|
|
|
图 4‑6 正轴切/割圆柱投影（引自National Atlas） |
|
|
|
图 4‑7 横轴、斜轴切圆柱投影（引自National Atlas） |
解析投影是不借助于辅助几何面，直接用解析法得到经纬网的一种投影。主要包括：伪圆锥投影，伪圆柱投影，伪方位投影，多圆锥投影。此处不再赘述。
伪方位投影（Pseudo-azimuthal Projection），据方位投影修改而来。在正轴情况下，纬线仍为同心圆，除中央经线为直线外，其余的经线均改为对称于中央经线的曲线，且相交于纬线的圆心。
|
|
|
图 4‑8 伪方位投影的经纬线形状（引自网络） |
伪圆柱投影（Pseudo-cylindrical Projection），据圆柱投影修改而来。在正轴圆柱投影的基础上，要求纬线仍为平行直线，除中央经线为直线外，其余的经线均改为对称于中央经线的曲线。
|
|
|
图 4‑9 伪圆柱投影的经纬线形状（引自网络） |
伪圆锥投影（Pseudo-conical Projection）据圆锥投影修改而来。在正轴圆锥投影的基础上，要求纬线仍为同心圆弧，除中央经线为直线外，其余的经线均改为对称于中央经线的曲线。
|
|
|
图 4‑10 伪圆锥投影的经纬线形状（引自网络） |
多圆锥投影（Polyconical Projection），这是一种假想借助多个圆锥表面与球体相切而设计成的投影。纬线为同轴圆弧，其圆心均位于中央经线上，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线。
|
|
|
图 4‑11 多圆锥投影的经纬线形状（引自网络） |
目前常用的投影方法有墨卡托投影（正轴等角圆柱投影）、高斯-克吕格尔投影（等角横切圆柱投影）、UTM投影（等角横轴割圆柱投影）、Lambert投影（等角正割圆锥投影）等。
墨卡托(Mercator)投影
墨卡托(Mercator)投影，是一种“等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一个中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由于每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影
高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影，是一种“等角横切圆柱投影”。德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777一1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。设想用一个圆柱横切于球面上投影带的中央经线，按照投影带中央经线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，将中央经线两侧一定经差范围内的球面正形投影于圆柱面。然后将圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即获高斯一克吕格投影平面。
高斯一克吕格投影后，除中央经线和赤道为直线外，其他经线均为对称于中央经线的曲线。高斯-克吕格投影没有角度变形，在长度和面积上变形也很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大处在投影带内赤道的两端。由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，并能在图上进行精确的量测计算。
按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。六度带自 0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第 1、2…60带。三度带是在六度带的基础上分成的，它的中央子午线与六度带的中央子午线和分带子午线重合，即自 1.5度子午线起每隔经差3度自西向东分带，带号依次编为三度带第 1、2…120带。我国的经度范围西起 73°东至135°，可分成六度带十一个，各带中央经线依次为75°、81°、87°、……、117°、123°、129°、135°，或三度带二十二个。
我国大于等于50万的大中比例尺地形图多采用六度带高斯-克吕格投影，三度带高斯-克吕格投影多用于大比例尺测图，如城建坐标多采用三度带的高斯-克吕格投影。
UTM投影
UTM投影全称为“通用横轴墨卡托投影”，是一种“等角横轴割圆柱投影”，椭圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条相割的经线上没有变形，而中央经线上长度比0.9996。UTM投影是为了全球战争需要创建的，美国于1948年完成这种通用投影系统的计算。与高斯-克吕格投影相似，该投影角度没有变形，中央经线为直线，且为投影的对称轴，中央经线的比例因子取0.9996是为了保证离中央经线左右约330km处有两条不失真的标准经线。
UTM投影分带方法与高斯-克吕格投影相似，是自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，将地球划分为60个投影带。我国的卫星影像资料常采用UTM投影。
Lambert投影
兰勃托(Lambert)投影，又名“"等角正割圆锥投影”，由德国数学家兰勃特（J.H.Lambert）在1772年拟定。设想用一个正圆锥切于或割于球面，应用等角条件将地球面投影到圆锥面上，然后沿一母线展开，即为兰勃托投影平面。投影后纬线为同心圆弧，经线为同心圆半径。
兰勃托投影采用双标准纬线相割，与采用单标准纬线相切比较，其投影变形小而均匀，兰勃托投影的变形分布规律是：
1. 角度没有变形；
2. 等变形线和纬线一致，即同一条纬线上的变形处处相等；
3. 两条标准纬线上没有任何变形；
4. 在同一经线上，两标准纬线外侧为正变形(长度比大于1)，而两标准纬线之间为负变形(长度比小于1)。因此，变形比较 均匀，变形绝对值也比较小；
5. 同一纬线上等经差的线段长度相等，两条纬线间的经纬线长度处处相等。
我国1：100万地形图采用了兰勃托投影，其分幅原则与国际地理学会规定的全球统一使用的国际百万分之一地图投影一致。纬度按纬差4°分带，从南到北共分成15个投影带，每个投影带单独计算坐标，每带两条标准纬线，第一标准纬线为图幅南端纬度加30′的纬线，第二标准纬线为图幅北端纬度减30′的纬线，这样处于同一投影带中的各图幅的坐标成果完全相同，不同带的图幅变形值接近相等，因此每投影带只需计算其中一幅图(纬差4°，经差6°)的投影成果即可。由于是纬差4°分带投影的，所以当沿着纬线方向拼接地图时，不论多少图幅，均不会产生裂隙；但是，当沿着经线方向拼接时，因拼接线分别处于上下不同的投影带，投影后的曲率不同，致使拼接时产生裂隙。
地图投影转换，即从一种地图投影转换到另一种地图投影，地图上各点坐标均发生变化。在转换时，如果目标投影与源投影的地理坐标系不同，则需要进行参照系转换，详细介绍参见4.5.1节。
任何投影都存在着投影变形，因而不同投影间的变换过程通常不是完全可逆的，即能把地图数据从它的原投影转换到某些其他投影，但不是总能非常精确地把它转换回来，因此用户在进行投影转换前应将原有文件另存。而且在进行投影变换时应尽量减少投影变换的次数，以求投影变换结果的精确性。
每种投影都被设计用于减少给定区域在给定特性上的变形量，因而各种投影有一定的适用范围，在进行投影变换时，应尽可能在相近坐标系范围间进行变换，否则投影变换结果的精度难于保证。如一幅墨卡托投影的世界地图转换为高斯投影，其结果只能保证在中央经线附近地区是精确的，在远离中央经线的区域将导致巨大的变形。
当进行投影转换时，常用的有六种投影转化的方法（Geocentric Transalation、Molodensky、Abridged Molodensky、Position Vector、Coordinate Frame、Bursa-wolf）。对于这六种方法，将在以下进行详细介绍。
任何一个国家（或地区）大地坐标系的建立，都是一个历史的发展过程，在不同的时期，采用的参考椭球体及定位方式都不相同，并且会逐步的完善和精化。采用不同的参考椭球和定位建立的大地坐标系，是彼此不同的参心空间直角坐标系，与全球统一的以地球质心为原点的地心空间直角坐标系也不一致。因此就存在不同的大地坐标系统之间的相互转换问题。
参照系转换时，比较简单的转换方法是所谓的三参数转换法（Geocentric Translation）。这种转化方法所依据的数学模型是认为两种大地参照系之间仅仅是空间的坐标原点发生了平移，而不考虑其他因素。可以参考下左图。三参数转换法计算简单，但精度较低，一般用在不同的地心空间直角坐标系之间的转换。
|
|
|
图 4‑12 坐标转换参数 |
更复杂而且精度更高的转换方法是所谓七参数法。这种方法所依据的数学模型不仅考虑了坐标系的平移，同时还考虑了坐标系旋转、尺度不一等因素。所以需要的参数除了三个平移量外，还要三个旋转参数（又称三个尤拉角）和尺度变化参数。转换原理如图 4‑12右图。
莫洛金斯基（Molodensky）转换法是另外一类参照系转换方法，它直接转换不同参照系的坐标而不经空间直角坐标的变换过程。为便于计算，还有所谓简化的莫洛金斯基方法（Abridged Molodensky）。
三参数转换法、莫洛金斯基转换法、简化的莫洛金斯基转换法属于精度较低的几种转换方法。三参数转换法需要三个平移转换参数（ΔX，ΔY，ΔZ），莫洛金斯基转换法、简化的莫洛金斯基转换法也要三个平移转换参数（ΔX，ΔY，ΔZ）。在数据精度要求不高的情况下一般可以采用这几种方法。
位置矢量法（Position Vector）、基于地心的七参数转换法（Coordinate Frame）、布尔莎方法（Bursa-Wolf）属于精度较高的几种转换方法。需要七个参数来进行调整和转换，包括三个平移转换参数（ΔX，ΔY，ΔZ）、三个旋转转换参数（rx，ry，rz）和一个比例参数（S）。这几种方法是完全相同的，只是由于国家地区或测量学派的不同，习惯称谓不同。
在实际的工作中，采用哪种转换方法要视具体情况而定。转换结果满意与否取决于转换参数的设置情况。转换参数的获取可以从官方测量机构、数据提供商处得到；也可以自行实测，推算转换参数。转换参数合适与否，必须通过两个参照系中都存在的控制点确定。
